מהפכים שני קלפים בדאבל, ובדיוק סמל אחד מופיע על שניהם. לא אפס, ולא שניים. כך זה בכל זוג ובכל משחק.
זה לא מזל, וגם לא קסם. המתמטיקה מאחורי דאבל פשוטה יותר משנדמה, ואפשר להבין אותה בלי ידע מוקדם.
דאבל DOBBLE – משחק הקלפים הקלאסי
חמישה משחקים בקופסה אחת. מוצאים ראשונים את הסמל המשותף לשני קלפים, וקוראים לו בקול.
המתמטיקה שמחזיקה את המשחק
בחפיסה הרגילה יש 55 קלפים, ועל כל קלף 8 סמלים. בין כל שני קלפים יש בדיוק סמל אחד משותף. לכן בחפיסה יש 1,485 זוגות קלפים, ובכל אחד מהם מחכה סמל משותף אחד.
אי אפשר לסדר את הסמלים כך באקראי. לכן צריך מבנה מדויק, ואותו אפשר להבין בקטן.
דאבל מזערי: שבעה קלפים בלבד
נתחיל בגרסה זעירה: שבעה קלפים, שלושה סמלים בכל קלף ושבעה סמלים בסך הכול. גם כאן כל זוג קלפים חולק בדיוק סמל אחד.
בדקו בעצמכם. קלפים 1 ו-2 חולקים את השמש. הלב משותף לקלפים 4 ו-7. לא תמצאו זוג שחולק שני סמלים או אפס.
המבנה הזה נקרא מישור פאנו, והוא המישור הקטן ביותר מסוג מישור פרויקטיבי. מתמטיקאים קוראים לקלפים "ישרים" ולסמלים "נקודות". בשפה שלהם כל שתי נקודות נמצאות על ישר אחד בדיוק. וגם כל שני ישרים נפגשים בנקודה אחת בדיוק.
זו בדיוק המתמטיקה של דאבל. במישור כזה אין ישרים מקבילים, ולכן אין זוג קלפים בלי סמל משותף.
איך מגיעים ל-55 קלפים?
אפשר להרחיב את הרעיון. נניח שבכל קלף יש N ועוד 1 סמלים. אז בחפיסה השלמה יש N בריבוע, ועוד N, ועוד 1 קלפים, ומספר הסמלים זהה.
בדוגמה שלנו יש 3 סמלים בקלף, ולכן N הוא 2. החישוב הוא 4 ועוד 2 ועוד 1, כלומר 7 קלפים.
בדאבל יש 8 סמלים בכל קלף, ולכן N הוא 7. החישוב הוא 49 ועוד 7 ועוד 1, כלומר 57. מבחינה מתמטית אפשר לייצר 57 קלפים ו-57 סמלים, וכל סמל מופיע על 8 קלפים.
בקופסה יש רק 55 קלפים. לפי ההסבר שמופיע בוויקיפדיה, זה כדי להתאים את החפיסה למכונות שמדפיסות חפיסות קלפים רגילות.
אותה מתמטיקה בגרסאות אחרות
הנוסחה עובדת בכל הגרסאות. דאבל מפרץ ההרפתקאות הוא לילדים, ויש בו 30 קלפים עם 6 סמלים בכל קלף. כאן N הוא 5, ולכן החפיסה השלמה היא של 31 קלפים.
אגב, האב-טיפוס הראשון של ז'אק קוטרו מ-1976 היה בדיוק כזה: 31 קלפים ו-6 סמלים בכל קלף. כלומר המשחק התחיל מהמבנה השלם עבור N שווה 5.
דאבל דיסני
המהדורה החגיגית של דאבל לרגל 100 שנה לדיסני. 90 קלפים גדולים, וגם כאן תמיד יש סמל משותף אחד בלבד.
בדאבל דיסני יש 10 סמלים בכל קלף ו-91 סמלים בסך הכול. כאן N הוא 9, כי 81 ועוד 9 ועוד 1 הם 91. בקופסה יש 90 קלפים.
דאבל קונקט: אותה מתמטיקה, משחק אחר
דאבל קונקט משתמש באותו עיקרון. בכל קלף יש 10 סמלים, ובין כל שני קלפים יש תמיד סמל אחד משותף.
אבל הקלפים כאן הם משושים, ולכן אפשר לחבר אותם זה לזה. כל שחקן או קבוצה בוחרים צבע, והמטרה היא ליצור שורה של ארבעה קלפים בצבע שלכם.
בנוסף, אין תורות. כולם הופכים קלף בו זמנית. מי שמזהה ראשון את הסמל המשותף לקלף שעל השולחן מכריז עליו. אחר כך הוא מניח את הקלף שלו במקום שמקרב אותו לשורה.
לכן דאבל קונקט מוסיף למהירות גם חשיבה מרחבית. צריך לא רק למצוא את הסמל, אלא גם להחליט איפה להניח את הקלף. אפשר לשחק גם בקבוצות של עד שלושה שחקנים.
דאבל קונקט
מוצאים ראשונים את הסמל המשותף, ומניחים קלפים כדי ליצור שורה של ארבעה בצבע שלכם.
למה אי אפשר לעשות דאבל עם 7 סמלים?
מישור כזה לא קיים לכל מספר. הוא קיים כאשר N הוא חזקה של מספר ראשוני. למשל 2, 3, 4, 5, 7, 8 ו-9. לכן הגרסאות שקיימות הן עם 6, 8 ו-10 סמלים בקלף.
לעומת זאת, עבור N שווה 6 הוכח שמישור כזה לא קיים. כלומר אי אפשר לבנות את המבנה המושלם עם 7 סמלים בקלף. חישובי מחשב ענקיים הראו שאין מישור כזה גם עבור 10. עבור 12 השאלה עדיין פתוחה.
ואם שואלים אותנו
אנחנו חיים ונושמים את עולם משחקי הקופסה. לכן אנחנו אוהבים משחקים כמו דאבל, שמסתירים מתמטיקה אמיתית בקופסה קטנה. ילדים משחקים בו כבר בגיל צעיר, ומאחוריו עומדת גיאומטריה שמתמטיקאים חוקרים.
את כל גרסאות המשחק תמצאו בדף משחק דאבל. עוד משחקים מהירים יש בקטגוריית משחקי הקלפים. למי שרוצה להעמיק, יש מאמר מקיף על המשחק בויקיפדיה.
